Contoh Soal & Penyelesaian (Struktur Aljabar)

1. Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S 
   maka akan berlaku…

   a. 1*a = a*1 = a
   b. a dan c salah
   c. a*b = b*a
   d. (a*b)*c = a*(b*c)
   e. a dan c benar

   Penjelasan :
   Rumus dasar Asosiatif      : (a*b)*c = a*(b*c)
   Rumus dasar Komutatif    : a*b = b*a

2. Syarat syarat apabila suatu monoid dikatakan suatu grup yaitu…

   a.. Himpunan S terbuka dibawah operasi (*)
   b. setiap anggotanya memliki unsur balikan atau  invers
   c. Pada S tidak memiliki elemen identitas untuk operasi (*)
   d. Operasi (*) bersifat distributive
   e. S merupakan suatu himpunan

   Penjelasan:
   Syarat Dari Grup adalah :

·                     Himpunan S tertutup dibawah operasi *

·                     Operasi * bersifat asosiatif

·                     Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

·                     Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

3. Dibawah ini yang merupakan struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi, kecuali :

   a. Monoid
   b. Koloid
   c. Semigrup
   d. Kelompok
   e. Grupoid

   Penjelasan: Hanya ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.

 
 4. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ... macam

   a. 1
   b. 2
   c. 3
   d. 4 
   e. 5

   Penjelasan:
   ada 4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu: Semigrup, Monoid,
   Grupoid, dan Grup.

 
5. Misalkan A himpunan bilangan bulat kelipatan 5. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat apakah A berbentuk ring ?

   a. Assosiatif
   b. Identitas
   c. Komutatif
   d. Invers
   e. A,B,C Benar

   Penjelasan:

   A = {5x|x ∈ Z }

   Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
   a+b = b+a
   5+10 = 10+5
   15 = 15

   Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.
   a.b = b.a
   5.10 = 5.10
   50 = 50
   Jadi P adalah komutatif. 

6. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif,
   didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk setiap x,y Î Z+.

   Apa saja kah operasi biner yang mungkin?

   a. Komutatif
   b. Assosiatif
   c.Jawaban A dan D benar
   d. Tertutup
   e. identitas

   Penjelasan :

   Tertutup
   Misalkan x = 2 dan y = 3,
   x * y = 2 * 3 = 1
   x * x = 2 * 2 = 2
   x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+

   Komutatif
   x, y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
   x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
   y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
   x * y = y * x komutatif

TUGAS KEDUA :

1. Sebutkan dan jelaskan aplikasi dari Pigeon Hole?

   Prinsip pigeon hole bisa diterapkan dalam membuktikan bahwa ada paling tidak dua orang penduduk di Bandung yang banyaknya rambut di kepala sama?

Jawab:

Sekilas, mungkin akan berusaha memanggil satu demi satu penduduk di Bandung. Kemudian, menyuruh merekamencabuti setiap rambut mereka untuk dihitung. Namun, untuk membuktikannya, kamu tidak perlu melakukan hal seperti itu. 

Gunakan prinsip rumah merpati di atas.

Perkirakan kemungkinan terburuk bahwa jumlah rambut terlebat adalah 1000 helai rambut per inchi persegi. 

Kemudian asumsikan kemungkinan terburuk bahwa rambut itu menutupi luas 1000 inci persegi, maka jumlah helai rambut terlebat manusia ada sekitar 1000.000 helai.
Membandingkannya dengan jumlah penduduk Bandung, yaitu sekitar 2.500.000 juta jiwa (tahun 2005, dan pasti akan terus bertambah), maka jumlah 1000.000 sekitar 2.5 kali lebih kecil dibandingkan jumlah penduduknya. Di kasus ini, kita dapat menganalogikan 2.500.000 sebagai jumlah merpati, dan 1000.000 sebagai jumlah rumah yang ada. Maka, akan ada paling tidak 2 orang yang memiliki jumlah rambut yang sama.

>   Prinsip pigeon hole bias diterapkan dalam permainan kartu dengan 2 trik yaitu trik permainan kartu kombinatorial. Contoh cara kerjanya adalah Pesulapakan menanyakan kepada salah satu pengunjung untuk memilih secara acak lima kartu dari satu dek kartu permainan. Pengunjung tidak menunjukkan kelima kartu ini pada pesulap ,tapi menunjukkannya pada khalayak ramailainnya.

Pengunjung-pengunjung yang lain akan memilih empat kartu dan menunjukkannya pada sang pesulap. Maka pesulap itu akan dengan cepat bias menentukan kartu kelima kartu pertama yang ditunjukkan kepesulap adalah satu dari dua kartu yang sama ini. Kartu-kartu yang lain dengan lambang yang sama yaitu kartu misteri tersebut yang harus di tebak oleh sang pesulap. Lalu pengunjung-pengunjung lainnya menunjukkan bahwa kartu yang disembunyikan tersebut mempunyai lambang yang sama dengan kartu pertama yang ditunjukkan. Sedangkan nilai dari kartu misteri tersebut akan bias didapatkan dengan sedikit trik yaitu dengan ‘perhitungan lingkaran’ kecil.

2.    Adakah keterkaitan antara Permutasi, Kombinasi, dan Pigeon Hole. Jelaskan!

Metode permutasi dan kombinasi sering digunakan dalam teori peluang (Probabilitas). Metode permutasi dan kombinasi juga berperan dalam kombinatorika. Metode permutasi dan kombinasi dapat digunakan untuk mencari bentuk umum dari permutasi dan kombinasi serta metode kombinasi dapat diterapkan dalam teori binomial. Selain itu pada matematika diskrit juga terdapat pokok bahasan tentang Prinsip Pigeon hole. Prinsip ini sering kali memudahkan dalam membuktikan keberadaan suatu objek dengan karakteristik tertentu dalam suatu tempat. Dalam matematika diskrit yang menginginkan jawaban keberadaaan suatu objek dalam tempat.

Berdasarkan Prinsip Pigeon hole Jika terdapat m burung merpati menempati n kotak sarangnya, dan m>n, maka sedikitnya satu kotak sarangnya akan dihuni dua atau lebih burung merpati, dimana m dan n bilangan bulat positif Salah satu perhitungan dalam matematika diskrit adalah permutasi dan kombinasi. Metode ini dapat menunjukkan banyaknya suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang berbeda dalam suatu tempat, baik yang dipilih seluruhnya atau sebagian. Selain itu dapat menunjukkan susunan objek yang identik. Dengan demikian, metode ini dapat mencari objek dalam suatu tempat dan dapat menentukan banyaknya objek tersebut. Metode perhitungan ini berguna dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan Prinsip Pigeon hole.

Matematika Informatika

UG